سەرچاوەی ماتریکسی هێسیان ببینە

لە [[ماتماتیک|بیرکاریدا]] ، '''ماتریکسی هێسی'''،  '''هێسی''' یان (کەمتر باو) '''ماتریکسی هێس''' [[ماتریکسی چوارگۆشەیی|چوارگۆشەیە]] لە [[بەشە گرتە|وەرگیراوەکانی بەشەکی]] پلەی دووەمی [[فانکشن (ماتماتیک)|نەخشەیەکی (فەنکشنێکی)]] بەهای سکالار، یان مەیدانی سکالار. باس لە [[کێشکردن|چەماوی]] ناوخۆیی فەنکشنی چەندین گۆڕەک دەکات. ماتریکسی هێسی لە سەدەی نۆزدەهەمدا لەلایەن بیرکارێکی ئەڵمانی لودڤیگ ئۆتۆ هێسەوە پەرەی پێدراوە و دواتر بە ناوی ئەوەوە ناونراوە. هێس لە سەرەتادا زاراوەی "دیاریکەری کارا"ی بەکارهێناوە. هێسیان هەندێک جار بە H یان بە شێوەیەکی ناڕوون بە ∇ <nowiki><sup id="mwEg">2</sup></nowiki> دیاری دەکرێت.

== پێناسە و تایبەتمەندییەکان ==
وایدابنێین <math>f : \R^n \to \R</math> فەنکشنێکە کە ڤێکتەرێک <math>\mathbf{x} \in \R^n</math>  وەک پێدراوە وەردەگرێت و دەرچوویەکی سکالار <math>f(\mathbf{x}) \in \R</math> دەگەڕێنێتەوە. ئەگەر هەموو [[بەشە گرتە|وەرگیراوە بەشەکیە (بەشە گرتە)]] پلە دووەکانی ... <math>f</math> بوونیان ببێ، ماتریکسی هێسیان <math>\mathbf{H}</math>ی <math>f</math>، ماتریکسێکی چوارگۆشەی <math>n \times n</math>ە، کە زیاتر بەم شێوازە پێناسە دەکرێت و ڕێک‌ دەخرێت <math display="block">\mathbf H_f= \begin{bmatrix}
 \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_n} \\[2.2ex]
 \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_1} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_n} \\[2.2ex]
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[2.2ex]
 \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_1} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_n^2}
\end{bmatrix}.</math> واتە پێدراوەی ڕیزی {{Mvar|i}} و کۆڵەکەی (column) {{Mvar|j}} بەم شێوازەی خوارەوەیە <math display="block">(\mathbf H_f)_{i,j} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \, \partial x_j}.</math>

ئەگەر جگە لەوە هەموو وەرگیراوە بەشەکیە دووەمەکان بەردەوام (بێ‌دابڕان) بن، ماتریکسی هێسی ماتریکسێکی هاوسەنگە (symmetric matrix) بە هۆی هاوسەنگی وەرگیراوە دووەمەکانەوە.

[[دیتێرمیننت|دیاریکەری]] ماتریکسی هێسی پێی دەوترێت {{Em|دیاریکەری هێسیەن (Hessian determinant)}} . <ref>{{بیرخستنەوەی کتێب|دوایین=Binmore|یەکەم=Ken|سەردێڕ=Calculus Concepts and Methods|دوایین٢=Davies|یەکەم٢=Joan|بڵاوکەرەوە=Cambridge University Press|ساڵ=٢٠٠٧|ژپنک=٩٧٨-٠-٥٢١-٧٧٥٤١-٠|پەڕە=١٩٠|oclc=٧١٧٥٩٨٦١٥|بەستەری نووسەر=Kenneth Binmore}}</ref>

ماتریکسی هێسیەنی فەنکشنی <math>f</math> بریتییە لە جێگۆڕدراوی (transpose) ماتریکسی جاکۆبی گرادێنتی فەنکشنی <math>f</math>; واتە: <math>\mathbf{H}(f(\mathbf{x})) = \mathbf{J}(\nabla f(\mathbf{x}))^T</math>.

== بەکارهێنانەکان ==

=== خاڵەکانی وەرچەرخان ===
ئەگەر <math>f</math> فرەژمارەیەکی یەکسان بێ لە سێ گۆڕەکدا، هاوکێشەی <math>f = 0</math> [[فانکشنی خۆبەخۆ|هاوکێشەیەکی ناڕاستەوخۆی]] چەماوەی دەرهاوێژی ڕووتەختەیە (plane projective curve) . [[خاڵی وەرگەڕان|خاڵەکانی وەرچەرخانی]] چەماوەکە ڕێک ئەو خاڵە ناتاکانەن کە دیاریکەری هێسیان سفرە. بەدوایدا دۆزی (تیۆرمی) بیزۆت دێت کە چەماوەی ڕووتەختەی سێ‌ڕەهەندی ئەوپەڕی <math>9</math> خاڵی وەرچەرخانی هەیە، بەو پێیەی دیاریکەری هێسی فرەژمارەیەکی بە پلەی <math>3</math> یە.

=== تاقیکردنەوەی وەرگیراوی دووەم ===
{{سەرچاوەکان|group=note}}
ماتریکسی هێسی [[فانکشنی قۆقز|فەنکشنێکی چەقاو]] نیمچە دیاریکراوی ئەرێنییە . پاڵاوتنی ئەم تایبەتمەندییە ڕێگەمان پێدەدات تاقی بکەینەوە کە ئایا <math>x</math> [[خاڵی قەیرانی (ماتماتیک)|خاڵێکی گرینگە]]، زۆرترینی ناوخۆییە، یان کەمترینی ناوخۆییە، یان خاڵێکی زینە، بەم شێوەیەی خوارەوە:

ئەگەر هێسیان ئەرێنی-دیار بێت لە <math>x</math>دا، ئەو کات <math>f</math> دەگاتە کەمترین ئاستی ناوخۆیی دابڕاو لە <math>x</math>دا. ئەگەر هێسیان نەرێنی-دیاریکراو بێت لە <math>x</math>دا، ئەو کات <math>f</math> دەگاتە زۆرترین ئاستی ناوخۆیی دابڕاو لە <math>x</math>دا. ئەگەر هێسیان هەردوو بەهای تایبەتی ئەرێنی و نەرێنی هەبێت, ئەوا <math>x</math> خاڵێکی زینە بۆ... <math>f</math>. ئەگەرنا تاقیکردنەوەکە بێ ئەنجامە. ئەمەش ئەوە دەگەیەنێت کە لە کەمترین ئاستی ناوخۆییدا هێسیان نیمچە دیاریکراوی ئەرێنی و لە زۆرترینی ناوخۆییدا هێسیان نیمچە دیاریکراوی نەرێنییە.

بۆ هێسییە نیمچە دیاریکراوە ئەرێنیەکان و نیمچە دیاریکراوە نەرێنیەکان تاقیکردنەوەکە بێ ئەنجامە (خاڵێکی گرینگ کە هێسیان نیمچە دیاریکراوە بەڵام دیارینەکراوە لەوانەیە هەرەدەرەکیەکی (extermum) ناوخۆیی یان خاڵێکی زین بێت). بەڵام دەتوانرێت لە ڕوانگەی تیۆری مۆرسەوە زیاتر بڵێین.

تاقیکردنەوەی وەرگیراوی دووەم بۆ فەنکشنەکانی یەک یا دوو گوڕەک سادەترە لە حاڵەتی گشتی. لە یەک گۆڕەکدا، هێسیانەکەی یەک وەرگیراوی دووەمی بەتێکڕایی تێدایە؛ ئەگەر ئەرێنی بێت، ئەوا <math>x</math> کەمترینی ناوخۆییە، و ئەگەر نەرێنی بێت، ئەوا <math>x</math> زۆرترینی ناوخۆییە؛ ئەگەر سفر بێت، ئەوا تاقیکردنەوەکە بێ ئەنجامە. لە دوو گۆڕاودا دەتوانرێت [[دیتێرمیننت|دیاریکەر]] بەکاربهێنرێت، چونکە دیاریکەر بەرهەمی بەها تایبەتەکانە. ئەگەر ئەرێنی بێت، ئەوا بەها تایبەتەکان هەردووکیان ئەرێنین، یان هەردووکیان نەرێنین. ئەگەر نەرێنی بێت، ئەوا دوو بەها تایبەتەکە نیشانەی جیاوازیان هەیە. ئەگەر سفر بێت، ئەوا تاقیکردنەوەی وەرگیراو دووەم بێ ئەنجامە.

بە هەمان شێوە، مەرجەکانی پلە-دووەم کە بەسن بۆ کەمترین یان زۆرترینی ناوخۆیی، دەتوانرێت لە ڕووی زنجیرەی سەرەکی (سەرەوە-چەپترین) بچووکەکان (مینۆرەکان) (دیاریکەرانی ژێر ماتریسەکان)ی هێسیان دەرببڕدرێت؛ ئەم مەرجانە حاڵەتێکی تایبەتن لەوانەی کە لە بەشی داهاتوودا بۆ هێسییە سنووردارکراوەکان بۆ باشکردنی سنووردارکراو دراون- ئەو حاڵەتەی کە ژمارەی سنووردارکەرەکان سفرە. بە تایبەتی، مەرجی بەس بۆ کەمترینێک ئەوەیە کە هەموو ئەم بچووکە سەرەکیانە ئەرێنی بن، لە کاتێکدا مەرجی بەس بۆ زۆرترین ئەوەیە کە بچووکەکان نیشانەکانیان بگۆڕن، کە بچووکی <math>1 \times 1</math>ەکە نەرێنیە.

=== خاڵە گرنگەکان ===
ئەگەر لاری (گرادێنت) (ڤێکتەری وەرگیراوە بەشەکیەکان)ی فەنکشنێکی وەک <math>f</math> لە شوێنێکی وەک <math>\mathbf{x}</math> دا سفر بێت، ئەوکات <math>f</math> لە <math>\mathbf{x}</math> دا {{Em|[[Critical point)  (mathematics)| خاڵێکی گرنگ (critical point)]]}}  (یان {{Em|[[خاڵی وەستاو (stationary point)]]}} )ی هەیە. [[دیتێرمیننت|دیاریکەری]] هێسیان لە <math>\mathbf{x}</math> لە هەندێک چوارچێوەدا بە جیاکاری ناودەبرێت. ئەگەر ئەم دیاریکەرە سفر بێت ئەوا <math>\mathbf{x}</math> پێی دەوترێت خاڵی هەڵوەشانی گرنگ ({{Em|degenerate critical point}}) بۆ <math>f</math>، یان {{Em|خاڵی گرنگی نا-مۆرسی (non-Morse critical point)}}ی <math>f</math>. ئەگەرنا نا-هەڵوەشاوە، و پێی دەوترێت {{Em|خاڵی گرنگی مۆرسی (Morse critical point)}} لە <math>f.</math>

ماتریکسی هێسیان ڕۆڵێکی گرنگ دەگێڕێت لە تیۆری مۆرس و تیۆری کارەساتدا ، چونکە ناوک و بەها تایبەتەکانی ڕێگە بە پۆلێنکردنی خاڵە گرینگەکان دەدەن. <ref>{{بیرخستنەوەی کتێب|دوایین=Callahan|یەکەم=James J.|ناونیشان=https://books.google.com/books?id=geruGMKT9_UC&pg=PA248|سەردێڕ=Advanced Calculus: A Geometric View|ڕێکەوت=2010|بڵاوکەرەوە=Springer Science & Business Media|ژپنک=٩٧٨-١-٤٤١٩-٧٣٣٢-٠|پەڕە=٢٤٨|زمان=en}}</ref> <ref>{{بیرخستنەوەی کتێب|ناونیشان=https://books.google.com/books?id=Tcn3CAAAQBAJ&pg=PA178|سەردێڕ=Recent Developments in General Relativity|ڕێکەوت=2011|بڵاوکەرەوە=Springer Science & Business Media|ژپنک=٩٧٨٨٨٤٧٠٢١١٣٦|editor-last=Casciaro|editor-first=B.|پەڕە=١٧٨|زمان=en|editor-last2=Fortunato|editor-first2=D.|editor-last3=Francaviglia|editor-first3=M.|editor-last4=Masiello|editor-first4=A.}}</ref> <ref>{{بیرخستنەوەی کتێب|دوایین=Domenico P. L. Castrigiano|سەردێڕ=Catastrophe theory|ناونیشان=https://archive.org/details/catastrophetheor0000cast_o1c2|دوایین٢=Sandra A. Hayes|بڵاوکەرەوە=Westview Press|ساڵ=٢٠٠٤|ژپنک=٩٧٨-٠-٨١٣٣-٤١٢٦-٢|پەڕە=[https://archive.org/details/catastrophetheor٠٠٠٠cast_o١c٢/page/١٨ ١٨]}}</ref>

دیاریکەری ماتریکسی هێسی، کاتێک لە خاڵێکی گرنگی فەنکشنێکدا هەڵدەسەنگێندرێت، یەکسانە بە چەماوی گاوسی ئەو فەنکشنەی کە وەک مانیفۆڵدێک هەژمار دەکرێت. بەها تایبەتەکانی هێسیان لەو خاڵەدا چەماوە سەرەکیەکانی فەنکشنەکەن و ئاراستە-یەکەکان، ئاراستە سەرەکییەکانی چەماوەکەن. (بڕوانە {{Section link|Gaussian curvature|Relation to principal curvatures}} .)

=== بەکارهێنان لە باشکردندا (optimization) ===
ماتریسەکانی هێسیان لە کێشەکانی باشکردنی قەبارە گەورەدا لەناو شێوازەکانی جۆری نیوتندا بەکاردەهێنرێن چونکە ڕێژەی چەمکی چوارگۆشەی فراوانبوونی تایلۆری ناوخۆیی فەنکشنێکن. ئەمە برتیە لە،<math display="block">y = f(\mathbf{x} + \Delta\mathbf{x})\approx f(\mathbf{x}) + \nabla f(\mathbf{x})^\mathrm{T} \Delta\mathbf{x} + \frac{1}{2} \, \Delta\mathbf{x}^\mathrm{T} \mathbf{H}(\mathbf{x}) \, \Delta\mathbf{x}</math>کە <math>\nabla f</math> بریتیە لە [[:en:Gradient|لاری (gradient)]] <math>\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}\right)</math>. بژمێرکردن و هەڵگرتنی ماتریکسی تەواوی هێسیان بیرگەی Θ(x2)ی دەوێت، کە ئەمەش بۆ ئەرکە فرەڕەهەندەکانی وەک فەنکشنە لەدەستدانەکانی تۆڕە دەمارییەکان، مەیدانە هەڕەمەکییە مەرجدارەکان و مۆدێلە ئامارییەکانی تر کە ژمارەیەکی زۆر لە پارامێتەرەکانیان هەیە، ناکارای دەکات. بۆ ئەم جۆرە بارودۆخانە ئەلگۆریتمەکانی کورتکراوەی نیوتن و نیمچە نیوتن پەرەیان پێدراوە. خێزانی دووەمی ئەلگۆریتمەکان نزیکبوونەوە لە هێسیان بەکاردەهێنن؛ یەکێک لە بەناوبانگترین ئەلگۆریتمەکانی نیمچە نیوتن بریتییە لە [[:en:Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno_algorithm|BFGS]].<ref>{{بیرخستنەوەی کتێب|دوایین١=Nocedal|یەکەم١=Jorge|سەردێڕ=Numerical Optimization|دوایین٢=Wright|یەکەم٢=Stephen|بڵاوکەرەوە=Springer Verlag|ساڵ=٢٠٠٠|ژپنک=٩٧٨-٠-٣٨٧-٩٨٧٩٣-٤|بەستەری نووسەر١=Jorge Nocedal}}</ref>

ئەم جۆرە نزیکبوونەوانە ڕەنگە ئەو ڕاستییە بەکاربهێنن کە ئەلگۆریتمێکی باشکردن تەنیا هێسیان وەک [[:en:Linear_operator|کارپێکەرێکی هێڵی linear operator]] ، <math>\mathbf{H}(\mathbf{v})</math>، بەکاردەهێنێت، و بەردەوام دەبێت بە تێبینیکردنی ئەوەی کە هێسیانیش سەرەتا  لە فراوانبوونی ناوخۆیی گرادێنتیشدا دەردەکەوێت:<math display="block">\nabla f (\mathbf{x} + \Delta\mathbf{x}) = \nabla f (\mathbf{x}) + \mathbf{H}(\mathbf{x}) \, \Delta\mathbf{x} + \mathcal{O}(\|\Delta\mathbf{x}\|^2)</math>

وایدانێین <math>\Delta \mathbf{x} = r \mathbf{v}</math> بۆ هەندێک سکالاری وەک <math>r</math> ، ئەمەش پێمان دەدات <math display="block">\mathbf{H}(\mathbf{x}) \, \Delta\mathbf{x} = \mathbf{H}(\mathbf{x})r\mathbf{v} = r\mathbf{H}(\mathbf{x})\mathbf{v} = \nabla f (\mathbf{x} + r\mathbf{v}) - \nabla f (\mathbf{x}) + \mathcal{O}(r^2),</math> ئەمە برتیە لە، <math display="block">\mathbf{H}(\mathbf{x})\mathbf{v} = \frac{1}{r} \left[\nabla f(\mathbf{x} + r \mathbf{v}) - \nabla f(\mathbf{x})\right] + \mathcal{O}(r)</math> کەواتە ئەگەر گرادێنتەکە پێشتر بژمێر کرابێت، دەتوانرێت هێسیانی نزیکەیی بە ژمارەیەکی هێڵی (بە قەبارەی گرادێنتەکە) لە کارەکانی سکالار بژمێر بکرێت. (لەکاتێکدا سادەیە بۆ بەرنامەنووسین، ئەم پلانی نزیککردنەوە لە ڕووی ژمارەییەوە جێگیر نییە لەبەر ئەوەی کە <math>r</math> دەبێت بچووک بکرێتەوە بۆ ئەوەی هەڵە بەهۆی <math>\mathcal{O}(r)</math> ڕوو نەدات، بەڵام کەمکردنەوەی ئەمە ئەبێتە هۆی وردبینی لەدەستدانەکان لە بەشی یەکەمدا. <ref>{{بیرخستنەوەی ژوورناڵ|دوایین=Pearlmutter|یەکەم=Barak A.|ساڵ=١٩٩٤|سەردێڕ=Fast exact multiplication by the Hessian|ناونیشان=http://www.bcl.hamilton.ie/~barak/papers/nc-hessian.pdf|journal=Neural Computation|بەرگ=٦|issue=1|پەڕەکان=١٤٧–١٦٠|doi=10.1162/neco.1994.6.1.147}}</ref> )

بە تایبەتی سەبارەت بە دۆزەرەوەکانی (Heuristics) گەڕانی هەڕەمەکی، ماتریکسی هاودەگۆڕانی ستراتیژی پەرەسەندن لەگەڵ پێچەوانەی ماتریکسی هێسیان دەگونجێت، تا فاکتەرێکی سکالار و لەرینەوە هەڕەمەکییە بچووکەکان. ئەم ئەنجامە بۆ ستراتیژی تاکە سەرچاوە (single-parent strategy) و مۆدێلێکی وەستاو  بە فەرمی سەلمێنراوە، لەگەڵ زیادبوونی قەبارەی ئاپۆرەکە (population)، و بە پشتبەستن بە نزیکبوونەوەی چوارگۆشەیی (quadratic approximation). <ref>{{بیرخستنەوەی ژوورناڵ|دوایین=Shir|یەکەم=O.M.|دوایین٢=A. Yehudayoff|ساڵ=٢٠٢٠|سەردێڕ=On the covariance-Hessian relation in evolution strategies|journal=Theoretical Computer Science|بڵاوکەرەوە=Elsevier|بەرگ=٨٠١|پەڕەکان=١٥٧–١٧٤|arxiv=1806.03674|doi=10.1016/j.tcs.2019.09.002|doi-access=free}}</ref>

=== بەکارهێنانەکانی تر ===
ماتریکسی هێسیان بە شێوەیەکی باو بۆ دەربڕینی کارپێکەریەکانی پێواژۆی وێنە لە [[پێواژۆی وێنەی دیجیتاڵ|پێواژۆی وێنە]] و بینینی کۆمپیوتەردا بەکاردەهێنرێت (بڕوانە دۆزەرەوەی بلۆبی لاپلاسیانی گاوسی (LoG)، دیاریکەری دۆزەرەوەی بلۆبی هێسیان (DoH) و بۆشایی پێوەر ). دەتوانرێت لە شیکاری دۆخی ئاساییدا بەکاربهێنرێت بۆ بژمێرکردنی لەرینەوەی (فرێکوێنسی) گەردیلەییە جیاوازەکان لە سپێکترۆسکۆپی ژێر سووردا . <ref>{{بیرخستنەوەی ژوورناڵ|دوایین=Mott|یەکەم=Adam J.|دوایین٢=Rez|یەکەم٢=Peter|ڕێکەوت=٢٤ی کانوونی یەکەمی ٢٠١٤|سەردێڕ=Calculation of the infrared spectra of proteins|ناونیشان=http://link.springer.com/10.1007/s00249-014-1005-6|journal=European Biophysics Journal|زمان=en|بەرگ=٤٤|issue=3|پەڕەکان=١٠٣–١١٢|doi=10.1007/s00249-014-1005-6|issn=0175-7571|pmid=٢٥٥٣٨٠٠٢}}</ref> هەروەها دەتوانرێت لە هەستیاری ناوخۆیی و دەستنیشانکردنی ئاماریدا بەکاربهێنرێت. <ref>{{بیرخستنەوەی ژوورناڵ|دوایین=Liu|یەکەم=Shuangzhe|دوایین٢=Leiva|یەکەم٢=Victor|دوایین٣=Zhuang|یەکەم٣=Dan|دوایین٤=Ma|یەکەم٤=Tiefeng|دوایین٥=Figueroa-Zúñiga|یەکەم٥=Jorge I.|ڕێکەوت=March 2022|سەردێڕ=Matrix differential calculus with applications in the multivariate linear model and its diagnostics|journal=Journal of Multivariate Analysis|بەرگ=١٨٨|پەڕەکان=١٠٤٨٤٩|doi=10.1016/j.jmva.2021.104849|doi-access=free}}</ref>

== گشتاندنەکان ==

=== هێسیانی سنووردارکراو (Bordered Hessian) ===
'''{{Em|هێسیانی سنووردارکراو}}''' بۆ تاقیکردنەوەی وەرگیراوی دووەم لە هەندێک کێشەی باشکردنی سنوورداردا بەکاردەهێنرێت. بە پێدانی فەنکشنی <math>f</math> کە پێشتر لەبەرچاو گیراوە، بەڵام زیادکردنی فەنکشنێکی سنووردارکراوی <math>g</math> بەجۆرێک کە... <math>g(\mathbf{x}) = c,</math> هێسی سنووردارکراو، هێسی فەنکشنی لاگرانجە <math>\Lambda(\mathbf{x}, \lambda) = f(\mathbf{x}) + \lambda[g(\mathbf{x}) - c]</math>:<ref>{{بیرخستنەوەی وێب|دوایین=Hallam |یەکەم=Arne |ڕێکەوت=٧ی تشرینی یەکەمی ٢٠٠٤|ناونیشان=https://www2.econ.iastate.edu/classes/econ500/hallam/documents/opt_con_gen_000.pdf |وێبگە=Iowa State}}</ref> 

<math display="block">\mathbf H(\Lambda) =
\begin{bmatrix}
\dfrac{\partial^2 \Lambda}{\partial \lambda^2} & \dfrac{\partial^2 \Lambda}{\partial \lambda \partial \mathbf x} \\
\left(\dfrac{\partial^2 \Lambda}{\partial \lambda \partial \mathbf x}\right)^{\mathsf{T}} & \dfrac{\partial^2 \Lambda}{\partial \mathbf x^2}
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
0 & \dfrac{\partial g}{\partial x_1} & \dfrac{\partial g}{\partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial g}{\partial x_n} \\[2.2ex]
\dfrac{\partial g}{\partial x_1} & \dfrac{\partial^2 \Lambda}{\partial x_1^2} & \dfrac{\partial^2 \Lambda}{\partial x_1\,\partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial^2 \Lambda}{\partial x_1\,\partial x_n} \\[2.2ex]
\dfrac{\partial g}{\partial x_2} & \dfrac{\partial^2 \Lambda}{\partial x_2\,\partial x_1} & \dfrac{\partial^2 \Lambda}{\partial x_2^2} & \cdots & \dfrac{\partial^2 \Lambda}{\partial x_2\,\partial x_n} \\[2.2ex]
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[2.2ex]
\dfrac{\partial g}{\partial x_n} & \dfrac{\partial^2 \Lambda}{\partial x_n\,\partial x_1} & \dfrac{\partial^2 \Lambda}{\partial x_n\,\partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial^2 \Lambda}{\partial x_n^2}
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
0 & \dfrac{\partial g}{\partial \mathbf x} \\
\left(\dfrac{\partial g}{\partial \mathbf x}\right)^{\mathsf{T}} & \dfrac{\partial^2 \Lambda}{\partial \mathbf x^2}
\end{bmatrix}</math>

ئەگەر  <math>m</math> سنووردارکەرمان ببێ، ئەوا سفر لە گۆشەی سەرەوەی چەپدا  بلۆکێکی <math>m \times m</math>ە لە  سفرەکان، و <math>m</math> ڕیزی سنووری لە سەرەوە و <math>m</math> کۆڵەکەی سنووری لە لای چەپەوە هەیە.

ئەو یاسایانەی سەرەوە کە باس لەوە دەکەن کە هەرەزۆرەکان (extrema)  (لە نێوان خاڵە گرنگەکاندا کە هێسیانێکی ناتاکە) کە بە هێسیانێکی ئەرێنی-دیاریکراو یان نەرێنی-دیاریکراو دیاری دەکرێن، لێرەدا ناتوانرێت جێبەجێ بکرێن لەبەرئەوەی هێسیانێکی سنووردار نە دەتوانێت نەرێنی-دیاریکراو بێت و نە ئەرێنی-دیاریکراو، وەک <math>\mathbf{z}^{\mathsf{T}} \mathbf{H} \mathbf{z} = 0</math> ئەگەر <math>\mathbf{z}</math> هەر ڤێکتەرێکە کە تاکە پێدراوە ناسفرەکەی یەکەم ڤێکتەریەتی.

تاقیکردنەوەی وەرگیراو دووەم لێرەدا پێکدێت لە سنووردارکردنی نیشانەکانی دیاریکەرانی کۆمەڵەیەکی دیاریکراو لە <math>n - m</math> ژێر ماتریسەکانی هێسیان سنووردار. <ref>{{بیرخستنەوەی کتێب|دوایین=Neudecker|یەکەم=Heinz|سەردێڕ=Matrix Differential Calculus with Applications in Statistics and Econometrics|ناونیشان=https://archive.org/details/matrixdifferenti0000magn|دوایین٢=Magnus|یەکەم٢=Jan R.|بڵاوکەرەوە=[[John Wiley & Sons]]|ساڵ=١٩٨٨|ژپنک=٩٧٨-٠-٤٧١-٩١٥١٦-٤|شوێن=New York|پەڕە=[https://archive.org/details/matrixdifferenti٠٠٠٠magn/page/١٣٦ ١٣٦]}}</ref> هەروەها، ئەو <math>m</math>ە دەتوانرێت وەکوو کەمکردنەوەی کێشەکە بۆ یەک لەگەڵ <math>n - m</math> گۆڕەکی ئازاد لە بەرچاو بگیردرێت. (بۆ نموونە، زۆرترین‌کردنی <math>f\left(x_1, x_2, x_3\right)</math> بەپێی سنووردارکەری <math>x_1 + x_2 + x_3 = 1</math> دەتوانرێت کەم بکرێتەوە بۆ زۆرترین‌کردنی <math>f\left(x_1, x_2, 1 - x_1 - x_2\right)</math> بەبێ سنووردارکردن.)

بە تایبەتی، مەرجەکانی نیشانە لەسەر ڕێزی بچووکە سەرەکیە پێشەنگەگان (دیاریکەرەکانی ژێر-ماتریسە درووستەکانی سەرەوە لای چەپ)ی هێسیانی سنووردار دەسەپێندرێت، کە یەکەم <math>2 m</math> بچووکە سەرەکییەکانی پێشەنگەکان پشتگوێ دەخرێن، بچووکترین بچووک (minor) پێکدێت لە یەکەمجار-کورتکراوە <math>2 m + 1</math> ڕیز و کۆڵەکە، ئەوەی دواتر پێکدێت لە یەکەمجار-کورتکراوە <math>2 m + 2</math> ڕیز و ستوون و هتد، کە دواهەمینیان هەموو هێسە سنووردارەکەیە؛ ئەگەر <math>2 m + 1</math> گەورەتر بێ لە <math>n + m,</math>، ئەوکات بچووکترین مینۆری سەرەکی پێشەنگ خودی هێسیانەکەیە. <ref>{{بیرخستنەوەی کتێب|دوایین=Chiang|یەکەم=Alpha C.|ناونیشان=https://archive.org/details/fundamentalmetho0000chia_b4p1/page/386|سەردێڕ=Fundamental Methods of Mathematical Economics|بڵاوکەرەوە=McGraw-Hill|ساڵ=١٩٨٤|ژپنک=٩٧٨-٠-٠٧-٠١٠٨١٣-٤|edition=Third|پەڕە=[https://archive.org/details/fundamentalmetho٠٠٠٠chia_b٤p١/page/٣٨٦ ٣٨٦]}}</ref> بەم شێوەیە  <math>n - m</math> مینۆری یاسایی هەن بۆ لەبەرچاو گرتن، کە هەریەکەیان لە خاڵە تایبەتەکەدا هەڵسەنگێندراون وەک زۆرترین یان کەمترین کاندید هەژمار دەکرێن. مەرجێکی بەس بۆ {{Em|هەرەزۆر (maximum)}}ی ناوخۆیی ئەوەیە کە ئەم مینۆرانە نیشانەکەیان بگۆڕن کە بچووکترینیان نیشانەکەی <math>(-1)^{m+1}</math>ە. مەرجێکی بەس بۆ {{Em|کەمترین (minimum)}}ی ناوخۆیی ئەوەیە کە هەموو ئەم مینۆرانە نیشانەی <math>(-1)^m</math>یان ببێ. (لە حاڵەتی بێ سنووری <math>m=0</math> ئەم مەرجانە هاوکاتن لەگەڵ ئەو مەرجانەی کە هێسی بێسنوور لە کاتێکدا دیاریکراوی نەرێنی یان دیاریکراوی ئەرێنی بێت هەر بەو ڕێکە (respectively)).

=== فەنکشنە بە ئاراستەکەر بەهادارکراوەکان (Vector-valued functions) ===
ئەگەر <math>f</math> لەبری ئەوە مەیدانی ئاراستەکەر بێ <math>\mathbf{f} : \R^n \to \R^m,</math> برتیە لە، <math display="block">\mathbf f(\mathbf x) = \left(f_1(\mathbf x), f_2(\mathbf x), \ldots, f_m(\mathbf x)\right),</math> پاشان کۆکردنەوەی وەرگیراوە بەشەکیە دووەمەکان ماتریکسێکی  <math>n \times n</math> نیە، بەڵکو تەنسۆرێکی پلە سێیەمە. دەتوانرێت ئەمە وەک ڕیزبەندییەک لە... <math>m</math> ماتریسی هێسیان ببینرێت، کە بۆ هەر پێکهاتەیەک لە <math>\mathbf{f}</math> : <math display="block">\mathbf H(\mathbf f) = \left(\mathbf H(f_1), \mathbf H(f_2), \ldots, \mathbf H(f_m)\right).</math> کاتێک <math>m = 1</math>، ئەم تەنسۆرە هەڵدەوەشێت بۆ ماتریکسێکی ئاسایی هێسیان.

=== گشتاندن بۆ دۆخی ئاڵۆز (complex case) ===
لە چوارچێوەی چەندین گۆڕەکی ئاڵۆزدا ، ڕەنگە هێسیان گشتگیر بکرێت. وای‌دانێین <math>f\colon\Complex^n \to \Complex</math>، و هەروەها <math>f\left(z_1, \ldots, z_n\right)</math>. پاشان هێسیان گشتگیر  <math>\frac{\partial^2f}{\partial z_i \partial\overline{z_j}}</math>یە. ئەگەر <math>f</math> مەرجەکانی n-ڕەهەندی کاوشی-ڕیمان تێر بکات، ماتریکسی ئاڵۆزی هێسی بە هەمان شێوە سفرە.

=== گشتاندنەکان بۆ فرەجۆرە (فرەچەماوە - مانیفۆڵد - manifold) ڕیمانیەکان ===
با <math>(M,g)</math> [[فرەجۆرێکی ڕیمانی|مانیفۆڵدێکی ڕیمانی]] و <math>\nabla</math> پەیوەندی-لیڤیا-سیڤیتاداکەی بێت. با <math>f : M \to \R</math> فەنکشنێکی نەرم بێت. پێناسەی تێنسۆری هێسیەکەی بە<math display="block">\operatorname{Hess}(f) \in \Gamma\left(T^*M \otimes T^*M\right) \quad \text{ by } \quad \operatorname{Hess}(f) := \nabla \nabla f = \nabla df,</math>کە ئەمە قازانج لەو ڕاستییە وەردەگرێت کە یەکەم وەرگیراوی هاوگۆڕاوی فەنکشنێک هەمان وەرگیراوە ئاساییەکەیەتی. هەڵبژاردنی بەردێلە ناوخۆییکان(coordinates) <math>\left\{x^i\right\}</math> دەربڕینێکی ناوخۆیی دەدات بۆ هێسیان وەک<math display="block">\operatorname{Hess}(f)=\nabla_i\, \partial_j f \ dx^i \!\otimes\! dx^j = \left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^i \partial x^j} - \Gamma_{ij}^k \frac{\partial f}{\partial x^k}\right) dx^i \otimes dx^j</math>کە <math>\Gamma^k_{ij}</math> هێماکانی کریستۆفێلن بۆ پەیوەندییەکە. فۆرمە هاوتاکانی تر بۆ هێسیان بەم شێوانەن<math display="block">\operatorname{Hess}(f)(X, Y) = \langle \nabla_X \operatorname{grad} f,Y \rangle \quad \text{ and } \quad \operatorname{Hess}(f)(X,Y) = X(Yf)-df(\nabla_XY).</math>

== هەروەها سەیری بکە ==
{{سەرچاوەکان}}

* دیاریکەری ماتریکسی هێسی، هاوگۆڕاوە؛ سەیری نەگۆڕاوی فۆرمێکی دووانەیی بکە
* ناسنامەی جەمسەرگیری, بەقازانجە بۆ ژماردنە خێراکان کە هێسییەکان بەکار دەهێنن.
* {{Annotated link|ماتریکسی جاکۆبیەن (Jacobian matrix)}} 
* {{Annotated link|هاوکێشەی هێسی (Hessian equation)}}

== تێبینی ==
{{Matrix classes}}{{دەروازە|Mathematics}}

== خوێندنەوەی زیاتر ==

* {{بیرخستنەوەی کتێب|دوایین=Lewis|یەکەم=David W.|ناونیشان=https://archive.org/details/matrixtheory0000lewi|سەردێڕ=Matrix Theory|بڵاوکەرەوە=World Scientific|ساڵ=١٩٩١|ژپنک=٩٧٨-٩٨١-٠٢-٠٦٨٩-٥|شوێن=Singapore|دەستپێگەیشتنی ناونیشان=registration}}
* {{بیرخستنەوەی کتێب|دوایین=Magnus|یەکەم=Jan R.|سەردێڕ=Matrix Differential Calculus : With Applications in Statistics and Econometrics|دوایین٢=Neudecker|یەکەم٢=Heinz|بڵاوکەرەوە=Wiley|ساڵ=١٩٩٩|ژپنک=٠-٤٧١-٩٨٦٣٣-X|edition=Revised|شوێن=New York|پەڕەکان=٩٩–١١٥|chapter=The Second Differential}}

== بەستەری دەرەکی ==

*  
* <templatestyles src="Module:Citation/CS1/styles.css"></templatestyles>{{MathWorld|Hessian|Hessian}}
{{تووڵی دەروازە|شیکاریی ماتماتیکی|ماتماتیک}}

[[پۆل:کالکیولسی فرەگۆڕەکی]]
[[پۆل:ماتریکسەکان]]
[[پۆل:بیردۆزی تاکێتی]]
[[پۆل:بیردۆزی مۆرس]]
[[پۆل:بەکارخەرە جیاکارییەکان]]