سەرچاوەی ڕادەداریی لاگرانج ببینە

{{شێواز}}
[[پەڕگە:Lagrange_polynomial.svg|وێنۆک| ئەم وێنەیە چوار خال نیشان دەدات ( <span style="color:#5e81B5;">( &#x2212; 9,&nbsp;5)</span>, <span style="color:#e19c24;">( &#x2212; 4,&nbsp;2)</span>, <span style="color:#8FB131;">( &#x2212; 1,&nbsp;&#x2212; 2)</span> ، <span style="color:#EC6235;">(7،&nbsp;9)</span> )، چەماوەی رادەداری        (سێجا) <span style="color:black;">''L'' ( ''x'' )</span> (خاڵ جاڵ، ڕەش)، کە کۆی ڕادەدارە بنەڕەتییە ''پێوانەکراوەکانە'' <span style="color:#5e81B5;">y <sub>0</sub> ''l'' <sub>0</sub> ( ''x'' )</span>, <span style="color:#e19c24;">y <sub>1</sub> ''l'' <sub>1</sub> ( ''x'' )</span>, <span style="color:#8FB131;">y <sub>2</sub> ''l'' <sub>2</sub> ( ''x'' )</span> و <span style="color:#EC6235;">y <sub>3</sub> ''l'' <sub>3</sub> ( ''x'' )</span> .  نەخشەی چەماوەی ڕادەداری بە هەر چوار خاڵەکەی کۆنترۆڵدا تێدەپەڕێت، و هەر ڕادەدارێکی بنەڕەتی ''پێوانەکراو'' بە خاڵی کۆنترۆڵکردنی خۆیدا تێدەپەڕێت  0ە کە ''x'' هاوتایە لەگەڵ سێ خاڵە کۆنترۆڵەکەی تر.]]
لە [[شیکاریی ژمارەیی|شیکاری ژمارەییدا]] ، '''چەماوەی ڕادەداریی لاگرانج''' رادەدارێکی ناوازەیە بە نزمترین [[پلەی ڕادەدار|پلەی]] کە کۆمەڵە داتایەکی دیاریکراو چەماوە دروست دەکات .

کۆمەڵە داتایەکی جووتە پۆوتانەکان دەدرێت <math>(x_j, y_j)</math> لەگەڵ <math>0 \leq j \leq k,</math> ەکە <math>x_j</math> پێیان دەوترێت ''گرێ'' و... <math>y_j</math> پێیان دەوترێت ''بەهاکان'' . ڕادەداریی لاگرانج <math>L(x)</math> پلەی هەیە.( <math display="inline">\leq k</math>'پلەکە' )و هەر بەهایەک لە گرێی هاوبەشدا گریمانە دەکات، <math>L(x_j) = y_j.</math>

هەرچەندە ناوی لێنراوە بەناوی [[ژۆزێف لوی لاگرانژ|جۆزێف-لویس لاگرانج]] کە لە ساڵی ١٧٩٥ بڵاویکردەوە، <ref>
{{بیرخستنەوەی کتێب|دوایین=Lagrange|یەکەم=Joseph-Louis|سەردێڕ=Leçons Elémentaires sur les Mathématiques|ساڵ=١٧٩٥|شوێن=Paris|زمان=fr|chapter=Leçon Cinquième. Sur l'usage des courbes dans la solution des problèmes|بەستەری نووسەر=Joseph-Louis Lagrange}} Republished in {{بیرخستنەوەی کتێب|دوایین=Lagrange|یەکەم=Joseph-Louis|سەردێڕ=Oeuvres de Lagrange|بڵاوکەرەوە=Gauthier-Villars|ساڵ=١٨٧٧|editor-last=Serret|editor-first=Joseph-Alfred|editor-link=Joseph-Alfred Serret|بەرگ=٧|پەڕەکان=[https://archive.org/details/oeuvresdelagrang٠٧lagr/page/٢٧١ ٢٧١–٢٨٧]|display-authors=٠}} Translated as {{بیرخستنەوەی کتێب|دوایین=Lagrange|یەکەم=Joseph-Louis|سەردێڕ=Lectures on Elementary Mathematics|بڵاوکەرەوە=Open Court|ساڵ=١٩٠١|edition=2nd|پەڕەکان=١٢٧–١٤٩|translator-last=McCormack|translator-first=Thomas J.|chapter=Lecture V. On the Employment of Curves in the Solution of Problems|display-authors=٠|chapter-url=https://archive.org/details/lecturesonelemen00lagriala/page/127}}</ref> بۆ یەکەمجار ئەم شێوازە لە ساڵی ١٧٧٩ لەلایەن ئێدوارد وارینگەوە دۆزرایەوە. <ref>{{بیرخستنەوەی ژوورناڵ|دوایین=Waring|یەکەم=Edward|بەستەری نووسەر=Edward Waring|ساڵ=١٧٧٩|سەردێڕ=Problems concerning interpolations|ناونیشان=https://archive.org/details/philosophicaltra6917roya/page/59|journal=[[Philosophical Transactions of the Royal Society]]|بەرگ=٦٩|پەڕەکان=٥٩–٦٧|doi=10.1098/rstl.1779.0008}}</ref> هەروەها دەرئەنجامێکی ئاسانی یاسایێکە کە لە ساڵی 1783 لەلایەن [[لیۆنارد ئۆیلەر|لیۆنهارد ئۆیلەرەوە]] بڵاوکرایەوە . <ref>{{بیرخستنەوەی ژوورناڵ|دوایین=Meijering|یەکەم=Erik|ساڵ=٢٠٠٢|سەردێڕ=A chronology of interpolation: from ancient astronomy to modern signal and image processing|ناونیشان=http://bigwww.epfl.ch/publications/meijering0201.pdf|journal=Proceedings of the IEEE|بەرگ=٩٠|issue=3|پەڕەکان=٣١٩–٣٤٢|doi=10.1109/5.993400}}</ref>

بەکارهێنانی ڕادەداریی لاگرانج بریتین لە شێوازی نیوتن-کۆتس بۆ یەکخستنی ژمارەیی ، پلانی هاوبەشکردنی نهێنی شامیر لە [[کریپتۆگرافی|کریپتۆگرافیدا]] ، و ڕاستکردنەوەی هەڵەی ڕید-سۆلۆمۆن لە تیۆری کۆدکردندا .

بۆ گرێ یەکسانەکان، چەماوە دروستکردنی لاگرانج ئامادەیە بۆ دیاردەی ڕونجی بۆ لەرینەوە گەورەکان.

== پێناسە ==
کۆمەڵێک لە... <math display="inline">k + 1</math> گرێکان <math>\{x_0, x_1, \ldots, x_k\}</math> ، کە دەبێت هەموویان جیاواز بن، <math>x_j \neq x_m</math> بۆ پێوەرەکان <math>j \neq m</math> ، '''بنەمای لاگرانج''' بۆ ڕادەدارەکانی

<math display="inline">\leq k</math>پلەکەیان، بۆ ئەو گرێیانە کۆمەڵەی رادەدارانە <math display="inline">\{\ell_0(x), \ell_1(x), \ldots, \ell_k(x)\}</math> هەریەکەیان لە پلە <math display="inline">k</math> کە بەهاکان وەردەگرن <math display="inline">\ell_j(x_m) = 0</math> ئەگەر <math display="inline">m \neq j</math> و <math display="inline">\ell_j(x_j) = 1</math> . بە بەکارهێنانی [[دێلتای کرۆنێکێر|دێڵتای کرۆنکەر]] ئەمە دەتوانرێت بنووسرێت <math display="inline">\ell_j(x_m) = \delta_{jm}.</math> هەر ڕادەدارێکی بنەڕەتی دەتوانرێت بە ڕوونی لەلایەن ئەو لیکدانە وەسف بکرێت:<math display="block">\begin{aligned}
\ell_j(x) &= \frac{(x-x_0)}{(x_j-x_0)} \cdots \frac{(x-x_{j-1})}{(x_j-x_{j - 1})} \frac{(x-x_{j+1})}{(x_j-x_{j+1})} \cdots \frac{(x-x_k)}{(x_j-x_k)} \\[8mu]
&= \prod_{\begin{smallmatrix}0\le m\le k\\ m\neq j\end{smallmatrix}} \frac{x-x_m}{x_j-x_m} \vphantom\Bigg|.
\end{aligned}</math>سەرنج بدەن کە سەرەکە <math display="inline">\prod_{m \neq j}(x - x_m)</math>  ،  <math display="inline">k</math> ڕەگی هەیە لە گرێکان <math display="inline">\{x_m\}_{m \neq j}</math> لە کاتێکدا ژێرەی <math display="inline">\prod_{m \neq j}(x_j - x_m)</math> ڕادەدارەکان گەورە دەکات وە دەرەنجامی پێوانە دەکات بەجۆرێک تاکوو <math display="inline">\ell_j(x_j) = 1.</math>

چەماوەی ڕادەداری  لاگرانج بۆ ئەو گرێیانە وە لە ''بەها'' هاوبەشەکانیانەوە <math>\{y_0, y_1, \ldots, y_k\}</math> پێکهاتەیەکی هێڵییە:<math display="block">L(x) = \sum_{j=0}^{k} y_j \ell_j(x).</math>هەر ڕادەدارێکی بنەڕەتی پلەیەکی هەیە <math display="inline">k</math> ، کەواتە کۆی گشتی <math display="inline">L(x)</math> پلەی هەیە بە جۆرێک <math display="inline">\leq k</math> پلەکە، و داتاکان چەماوەکە نەخشە  دەکات چونکە <math display="inline">L(x_m) = \sum_{j=0}^{k} y_j \ell_j(x_m) = \sum_{j=0}^{k} y_j \delta_{mj} = y_m.</math>

چەماوە دانانی نەخشە ڕادەدارەکان تایبەتە. بەڵگە: ڕادەدارێک گریمانە بکە <math display="inline">M(x)</math>،  <math display="inline">\leq k</math>پلەی ڕادەدارەکە،  داتاکان نەخشە دەکات. پاشان جیاوازی <math display="inline">M(x) - L(x)</math> سفرە، لە <math display="inline">k + 1</math> گرێ جیاوازەکان <math display="inline">\{x_0, x_1, \ldots, x_k\}.</math> بەڵام تاکە ڕادەداری کە <math display="inline">\leq k</math>پلەکەی، بە ڕەگی زیاتر لە... <math display="inline">k</math>  نەخشەی سفری نەگۆڕە، بۆیە <math display="inline">M(x) - L(x) = 0,</math> یان <math display="inline">M(x) = L(x).</math>

== فۆڕمی باریسەنتریک ==
هەر ڕادەدارێکی بنەڕەتی لاگرانج <math display="inline">\ell_j(x)</math> دەتوانرێت وەک بەرهەمی(لێکدانی) سێ بەش، نەخشەیێک بنووسرێتەوە <math display="inline">\ell(x) = \prod_m (x - x_m)</math> هاوبەشە بۆ هەموو ڕادەدارێکی بنەڕەتی، نەگۆڕێکی تایبەت بە گرێی <math display="inline">w_j = \prod_{m\neq j}(x_j - x_m)^{-1}</math> (کە پێی دەوترێت ''کێشی باریسەنتریک'' )، و بەشێک کە پیشاندەری لادانن لە... <math display="inline">x_j</math> بۆ <math display="inline">x</math> : <ref>{{بیرخستنەوەی ژوورناڵ|دوایین=Berrut|یەکەم=Jean-Paul|بەستەری نووسەر=Lloyd N. Trefethen|دوایین٢=Trefethen|یەکەم٢=Lloyd N.|ساڵ=٢٠٠٤|سەردێڕ=Barycentric Lagrange Interpolation|ناونیشان=https://people.maths.ox.ac.uk/trefethen/barycentric.pdf|journal=SIAM Review|بەرگ=٤٦|issue=3|پەڕەکان=٥٠١&ndash;٥١٧|bibcode=2004SIAMR..46..501B|doi=10.1137/S0036144502417715|doi-access=free}}</ref><math display="block">\ell_j(x) = \ell(x) \dfrac{w_j}{x - x_j}</math>بە هاوبەش وەرگرتنی <math display="inline">\ell(x)</math> لە کۆی سەرجەمەکە، دەتوانین ڕادەداری لاگرانج بە ''فۆڕمی یەکەم بنووسین کە پێی دەوترێت یەکەم باریسەنتری'' :

: <math>L(x) = \ell(x) \sum_{j=0}^k \frac{w_j}{x-x_j}y_j.</math>

ئەگەر کێشەکان <math>w_j</math> پێشوەختە حیساب کراون، ئەمە تەنها پێویستی بە... <math>\mathcal O(k)</math> ئۆپەراسیۆنەکان بە بەراورد بە... <math>\mathcal O(k^2)</math> بۆ هەڵسەنگاندنی هەر ڕادەدارێکی بنەڕەتی لاگرانج <math>\ell_j(x)</math> بە تاک بە تاک.

هەروەها دەتوانرێت فۆرمولەی نەخشە دانانی چەماوەی باریسەنتریکی بە ئاسانی نوێ بکرێتەوە بۆ ئەوەی گرێیەکی نوێ لەخۆبگرێت <math>x_{k+1}</math> بە دابەشکردنی هەریەک لە... <math>w_j</math> ، . <math>j=0 \dots k</math> تا <math>(x_j - x_{k+1})</math> و بنیاتنانی نوێ <math>w_{k+1}</math> وەکۆ سەرەوە.

بۆ هەر <math display="inline">x</math> ،<math display="inline">\sum_{j=0}^k \ell_j(x) = 1</math> چونکە نەخشەی نەگۆڕی <math display="inline">g(x) = 1</math> ڕادەداری ناوازەی پلە <math>k \leq </math> نەخشەی چاماوەی  <math display="inline">\{(x_0, 1), (x_1, 1), \ldots, (x_k, 1) \}.</math> دادەنێت بەم شێوەیە دەتوانین فۆرمولەی باریسەنتریکی زیاتر سادە بکەینەوە بە دابەشکردن <math>L(x) = L(x) / g(x)\colon</math>

: <math>\begin{aligned}
L(x) &= \ell(x) \sum_{j=0}^k \frac{w_j}{x-x_j}y_j \Bigg/ \ell(x) \sum_{j=0}^k \frac{w_j}{x-x_j} \\[10mu]
&= \sum_{j=0}^k \frac{w_j}{x-x_j}y_j \Bigg/ \sum_{j=0}^k \frac{w_j}{x-x_j}.
\end{aligned}</math>

ئەمەش پێی دەوترێت ''فۆڕمی دووەم'' یان ''فۆڕمی ڕاستەقینەی'' فۆرمولەی ئینتەرپۆلاسیۆنی باریسەنتری.

ئەم فۆڕمە دووەمە لە تێچووی حیسابکردن و وردیدا سوودی هەیە: خۆی لە هەڵسەنگاندنی... <math>\ell(x)</math> ; بەدوور دەگرێت.  کارەکە بۆ حیسابکردنی هەر بەشێک لە ژێرەی  <math>w_j/(x-x_j)</math> پێشتر لە بواری کۆمپیوتەردا ئەنجامدراوە <math>\bigl(w_j/(x-x_j)\bigr)y_j</math> و بەم شێوەیە حیسابکردنی کۆی گشتی لە ژێرەدا تەنها تێچووی شیکاری <math display="inline">k</math> زیاددەکات ؛ بۆ خاڵەکانی هەڵسەنگاندنی <math display="inline">x</math> کە نزیکە لە یەکێک لە گرێکان <math display="inline">x_j</math> ، هەڵوەشاندنەوەی کارەساتبار بە شێوەیەکی ئاسایی کێشەیەک دەبێت بۆ بەهاکە <math display="inline">(x-x_j)</math> ، بەڵام ئەم بڕە لە هەردوو ژمارە و بڕدا دەردەکەوێت و ئەو دووانە هەڵدەوەشێنەوە(لەگەڵ یەکتر دەڕۆن) و وردییەکی ڕێژەیی باش لە ئەنجامی کۆتاییدا بەجێدەهێڵێت.

بەکارهێنانی ئەم فۆرمولەیە بۆ هەڵسەنگاندن <math>L(x)</math> لە یەکێک لە گرێکان <math>x_j</math> لە ئەنجامدا باری نادییار دەبێت <math>\infty y_j/\infty</math> ; جێبەجێکردنی کۆمپیوتەر دەبێت جێگەی ئەو جۆرە ئەنجامانە بگرێتەوە بە... <math>L(x_j) = y_j.</math>

هەروەها دەتوانرێت هەر ڕادەدارێکی بنەڕەتی لاگرانج بە شێوەی باریسەنتری بنووسرێت:

: <math>
\ell_j(x) = \frac{w_j}{x-x_j} \Bigg/ \sum_{m=0}^k \frac{w_m}{x-x_m}.
</math>

== ڕوانگەیەک لە جەبری هێڵییەوە ==
چارەسەرکردنی کێشەی ئینتەرپۆلاسیۆن(نەخشەکردنی چەماوەکە) دەبێتە هۆی کێشەیەک لە [[جەبری ھێڵی|جەبری هێڵیدا]] کە دەکاتە هەڵگەڕاوەی ڕیزکراوێک. بەکارهێنانی بنەمایەکی مۆنۆمیاڵی ستاندارد بۆ نەخشاندی چەماوەی ڕادەدارەکە <math display="inline">L(x) = \sum_{j=0}^k x^j m_j</math> ، دەبێت ماتریکسی ڤاندەرمۆند(ڕیزکراوی ڤاندەرمۆند) هەڵگەڕێنینەوە  <math>(x_i)^j</math>  بۆ شیکارکردنی <math>L(x_i) = y_i</math> بۆ چەندجارەکان <math>m_j</math> بۆ <math>L(x)</math> . بە هەڵبژاردنی بنەمایەکی باشتر، بنەمای لاگرانج، <math display="inline">L(x) = \sum_{j=0}^k l_j(x) y_j</math> ، ئێمە تەنها [[ماتریکسی یەکە|ڕیزکراوی یەکەیی]] مان دەست دەکەوێت, [[دێلتای کرۆنێکێر|<math>\delta_{ij}</math>]] ، کە هەڵگەراوەکەی خۆیەتی: بنەمای لاگرانج بە شێوەیەکی ئۆتۆماتیکی ئەنالۆگی ڕیزکراوی ڤاندەرمۆند ''هەڵگەڕاوە دەکاتەوە'' .

ئەم بنیاتنانە هاوشێوەی تیۆرمی پاشماوەی چینییە . لەبری ئەوەی پاشماوەی ژمارە تەواوەکان بپشکنین کە ژمارە سەرەتاییەکانی مۆدیۆلۆ، ئێمە پشکنین بۆ پاشماوەی فرەژمارەکان دەکەین کاتێک دابەش دەکرێن بەسەر هێڵییەکان.

جگە لەوەش، کاتێک کە ڕێزبەندییەکە گەورە بێت، دەتوانرێت گۆڕینی خێرا فۆریێر بەکاربهێنرێت بۆ چارەسەرکردنی چەنجارەکانی نەخشەی چەماوەی ڕادەدارەکە.

== نموونە ==
نەخشەی چەماوەی <math>f(x) = x^2</math>  بەسەر بواری <math>1 \leq x \leq 3</math> لە سێ گرێیەکەدا {{Nowrap|<math>\{1,\, 2,\, 3\}</math>:}}

: <math>
\begin{align}
x_0 & = 1, & & & y_0 = f(x_0) & = 1, \\[3mu]
x_1 & = 2, & & & y_1 = f(x_1) & = 4, \\[3mu]
x_2 & = 3, & & & y_2 = f(x_2) & =9.
\end{align}
</math>

گرێی ڕادەدارەکە <math>\ell</math> بریتیە لە

: <math>\ell(x) = (x-1)(x-2)(x-3) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6.</math>

کێشەکانی باریسەنتریک بریتین لە

: <math>\begin{align}
w_0 &= (1-2)^{-1}(1-3)^{-1} = \tfrac12, \\[3mu]
w_1 &= (2-1)^{-1}(2-3)^{-1} = -1, \\[3mu]
w_2 &= (3-1)^{-1}(3-2)^{-1} = \tfrac12.
\end{align}</math>

ڕادەدارە بنەڕەتییەکانی لاگرانج بریتین لە

: <math>\begin{align}
\ell_0(x) &= \frac{x - 2}{1 - 2}\cdot\frac{x - 3}{1 - 3} = \tfrac12x^2 - \tfrac52x + 3, \\[5mu]
\ell_1(x) &= \frac{x - 1}{2 - 1}\cdot\frac{x - 3}{2 - 3} = -x^2 + 4x - 3, \\[5mu]
\ell_2(x) &= \frac{x - 1}{3 - 1}\cdot\frac{x - 2}{3 - 2} = \tfrac12x^2 - \tfrac32x + 1.
\end{align}</math>

دانانی نەخشەی چەماوەی ڕادەداری لاگرانج بریتییە لە:

: <math> \begin{align}
L(x) &= 1\cdot\frac{x - 2}{1 - 2}\cdot\frac{x - 3}{1 - 3}
+ 4\cdot\frac{x - 1}{2 - 1}\cdot\frac{x - 3}{2 - 3}
+ 9\cdot\frac{x - 1}{3 - 1}\cdot\frac{x - 2}{3 - 2}
\\[6mu]
&= x^2.
\end{align} </math>

لە فۆڕمی (دووەم) باریسەنتریکدا،

: <math>
L(x) = \frac
 {\displaystyle \sum_{j=0}^2 \frac{w_j}{x-x_j}y_j}
 {\displaystyle \sum_{j=0}^2 \frac{w_j}{x-x_j}}
 = \frac
 {\displaystyle \frac{\tfrac12}{x - 1} + \frac{-4}{x - 2} + \frac{\tfrac92}{x - 3}}
 {\displaystyle \frac{\tfrac12}{x - 1} + \frac{-1}{x - 2} + \frac{\tfrac12}{x - 3}}.
</math>

== تێبینی ==
[[پەڕگە:Runge's_phenomenon_in_Lagrange_polynomials.svg|وێنۆک| نموونەی جیاوازی ئینتەرپۆلاسیۆن(دانانی نەخشەی چەماوەکە) بۆ کۆمەڵێک ڕادەداری لاگرانج.]]
فۆڕمی لاگرانجی ڕادەداری ئینتەرپۆلاسیۆن تایبەتمەندی هێڵی ئینتەرپۆلاسیۆنی ڕادەدار و تایبەتمەندی ڕادەداری ئینتەرپۆلاسیۆن نیشان دەدات. بۆیە لە بەڵگە و ئارگیومێنتەکانی بیردۆزی و تیۆری باشترە. هەروەها دەتوانرێت تایبەتمەندی لە هەڵگەراوەیی ڕیزکراوی ڤاندەرمۆندەوە ببینرێت، بەهۆی نەمانی دیاریکەری ڤاندەرمۆندەوە .

بەڵام، وەک لە بنیاتنانەوە دەردەکەوێت، هەر جارێک گرێیەک ''x'' <sub>''k''</sub> دەگۆڕێت، هەموو ڕادەدارە بنەڕەتییەکانی لاگرانج دەبێت دووبارە حیساب بکرێنەوە. فۆرمێکی باشتری فرەژمارەی ئینتەرپۆلاسیۆن بۆ مەبەستی پراکتیکی (یان حیساباتی) فۆرمی باریسەنتریکی ئینتەرپۆلاسیۆنی لاگرانج (بڕوانە خوارەوە) یان فرەژمارەی نیوتنە .

لاگرانج و ئینتەرپۆلاسیۆنەکانی تر لە خاڵە یەکسانەکاندا، وەک لە نموونەی سەرەوەدا، فرەژمارەیەک بەدەست دەهێنێت کە لە سەرەوە و خوارەوەی نەخشە ڕاستەقینەکە دەلەرێتەوە. ئەم ڕەفتارە لەگەڵ ژمارەی خاڵەکاندا گەشە دەکات، ئەمەش دەبێتە هۆی جیاوازییەک کە بە دیاردەی ڕونگ ناسراوە؛ ڕەنگە کێشەکە بە هەڵبژاردنی خاڵەکانی ئینتەرپۆلاسیۆن(نەخشەی چەماوەکە) لە گرێکانی چێبیشێڤ نەهێڵرێت. <ref>{{بیرخستنەوەی کتێب|دوایین=Quarteroni|یەکەم=Alfio|ناونیشان=https://books.google.com/books?id=fE1W5jsU4zoC&pg=PA66|سەردێڕ=Scientific Computing with MATLAB|دوایین٢=Saleri|یەکەم٢=Fausto|بڵاوکەرەوە=Springer|ساڵ=٢٠٠٣|ژپنک=٩٧٨-٣-٥٤٠-٤٤٣٦٣-٦|زنجیرە=Texts in computational science and engineering|بەرگ=٢|پەڕە=٦٦|بەستەری نووسەر=Alfio Quarteroni}}.</ref>

دەتوانرێت ڕادەدارە بنەڕەتییەکانی لاگرانج لە تەواوکاریی ژمارەییدا بەکاربهێنرێت بۆ وەرگرتنی فۆرمولەکانی نیوتن-کۆتس .

== بیرهێنانەوە لە دانانی نەخشەی ڕادەدارەکانی لاگرانج ==
لە کاتی ئینتەرپۆلکردنی فەنکشنێکی دیاریکراوی ''f'' بە فرەژمارەیەکی پلەی {{Mvar|k}} لە گرێکانیدا <math>x_0,...,x_k</math> ئەوەمان دەست دەکەوێت کە <math>R(x) = f(x) - L(x)</math> کە دەتوانرێت بەم شێوەیە دەرببڕدرێت 

: <math> R(x) = f[x_0,\ldots,x_k,x] \ell(x) = \ell(x) \frac{f^{(k+1)}(\xi)}{(k+1)!}, \quad \quad x_0 < \xi < x_k,</math>

کاتێک <math>f[x_0,\ldots,x_k,x]</math> ئاماژەیە بۆ جیاوازییە دابەشکراوەکان . یانیش دەتوانرێت پاشماوەکە وەکو تەواوکارییەێکی کۆنتور لە لە بواری ژمارە ئاوێتەییەکاندا دەرببڕێت وەک

: <math>R(x) = \frac{\ell(x)}{2\pi i} \int_C \frac{f(t)}{(t-x)(t-x_0) \cdots (t-x_k)} dt = \frac{\ell(x)}{2\pi i} \int_C \frac{f(t)}{(t-x)\ell(t)} dt.</math>

ئەوەی کە دەمێنێتەوە دەتوانرێت بەم شێوەیە ببەسترێتەوە

: <math>|R(x)| \leq \frac{(x_k-x_0)^{k+1}}{(k+1)!}\max_{x_0 \leq \xi \leq x_k} |f^{(k+1)}(\xi)|. </math>

=== کە وەرگیراوە لە <ref>{{بیرخستنەوەی وێب|سەردێڕ=Interpolation|ناونیشان=https://sam.nitk.ac.in/sites/default/Numerical_Methods/Interpolation/interpolation.pdf|ڕێکەوتی سەردان=١ی ئایاری ٢٠٢٤|ڕێکەوتی ئەرشیڤ=١٩ی شوباتی ٢٠١٨|ناونیشانی ئەرشیڤ=https://web.archive.org/web/20180219214201/http://www.sam.nitk.ac.in/sites/default/Numerical_Methods/Interpolation/interpolation.pdf|ڕەوشی ناونیشان=مردوو}}</ref> ===
(ناتەواوە) LaTeX پێویستە!

: <math>F^{(k+1)}(\xi)=f^{(k+1)}(\xi)-L^{(k+1)}(\xi)-\tilde{R}^{(k+1)}(\xi)</math>

: <math>L^{(k+1)}=0,\tilde{R}^{(k+1)}=C\cdot(k+1)!</math> (چونکە بەرزترین توانی… <math>x</math> لە <math>\tilde{R}(x)</math> بریتیە لە <math>k+1</math> )

: <math>0=f^{(k+1)}(\xi)-C\cdot(k+1)!</math>

دەتوانرێت هاوکێشەکە بەم شێوەیە ڕێکبخرێتەوە

: <math>C=\frac{f^{(k+1)}(\xi)}{(k+1)!}</math>

چونکە <math>F(x_p) = 0</math> ئێمە هەمانە <math>R(x_p)=\tilde{R}(x_p) = \frac{f^{k+1}(\xi)}{(k+1)!}\prod_{i=0}^k(x_p-x_i)</math>

== جیاکاری(داتاشراو) ==
دەتوانرێت داتاشراوی {{Mvar|d}}یەمی ڕادەدارێکی ئینتەرپۆلکردنی لاگرانج لە ڕووی داتاشراوەکانی ڕادەدارە بنەڕەتییەکان بنووسرێت،

: <math>L^{(d)}(x) := \sum_{j=0}^{k} y_j \ell_j^{(d)}(x).</math>

وەبیرهێنانەوە (بڕوانە {{Section link|#Definition}} سەرەوە) کە هەر ڕادەدارێکی بنەڕەتی لاگرانج<math display="block">\begin{aligned}
\ell_j(x) &= \prod_{\begin{smallmatrix}m = 0\\ m\neq j\end{smallmatrix}}^k \frac{x-x_m}{x_j-x_m}.
\end{aligned}</math>یەکەم وەرگیراو دەتوانرێت بە بەکارهێنانی یاسای جارانی داتاشراو بدۆزرێتەوە :

: <math>\begin{align}
\ell_j'(x) &= \sum_{\begin{smallmatrix}i=0 \\ i\not=j\end{smallmatrix}}^k \Biggl[ \frac{1}{x_j-x_i}\prod_{\begin{smallmatrix}m=0 \\ m\not = (i, j)\end{smallmatrix}}^k \frac{x-x_m}{x_j-x_m} \Biggr]
\\[5mu]
&= \ell_j(x)\sum_{\begin{smallmatrix}i=0 \\i\not=j\end{smallmatrix}}^k \frac{1}{x-x_i}.
\end{align}</math>

داتاشراوی دووەم بریتییە لە

: <math>\begin{align}
\ell_j''(x)
&= \sum_{\begin{smallmatrix}i=0 \\ i\ne j\end{smallmatrix}}^{k} \frac{1}{x_j-x_i} \Biggl[ \sum_{\begin{smallmatrix}m=0 \\ m\ne(i,j)\end{smallmatrix}}^{k} \Biggl( \frac{1}{x_j-x_m}\prod_{\begin{smallmatrix}n=0 \\ n\ne(i,j,m)\end{smallmatrix}}^{k} \frac{x-x_n}{x_j-x_n} \Biggr) \Biggr]
\\[10mu]
&= \ell_j(x)
\sum_{0 \leq i < m \leq k}
\frac{2}{(x-x_i)(x - x_m)}
\\[10mu]
&= \ell_j(x)\Biggl[\Biggl(\sum_{\begin{smallmatrix}i=0 \\i\not=j\end{smallmatrix}}^k \frac{1}{x-x_i}\Biggr)^2-\sum_{\begin{smallmatrix}i=0 \\i\not=j\end{smallmatrix}}^k \frac{1}{(x-x_i)^2}\Biggr].
\end{align}</math>

داتاشراوی سێیەم بریتییە لە

: <math>\begin{align}
\ell_j'''(x)
&= \ell_j(x)
\sum_{0 \leq i < m < n \leq k}
\frac{3!}{(x-x_i)(x - x_m)(x - x_n)}
\end{align}</math>

و بە هەمان شێوە بۆ داتاشراوی بەرزتر.

سەرنج بدە کە هەموو ئەم فۆرمولانە بۆ داتاشراوەاکان لە گرێیەک یان لە نزیک گرێیەکدا نادروستن. شێوازێک بۆ هەڵسەنگاندنی هەموو ڕێزبەندییەکانی داتاشراوەکانی ڕادەدارەکانی لاگرانج بە شێوەیەکی کارا لە هەموو خاڵەکانی بوارەکادا، بە گرێیەکانیشەوە، گۆڕینی ڕادەدارەکانی لاگرانج بۆ فۆڕمی بنەمای هێز(توان) و پاشان تاقیکردنەوەی داتاشراوەکان.

== بوارە سنووردارەکان ==
هەروەها دەتوانرێت فرەژمارەی(ڕادەدارەکانی) لاگرانج لە بواری سنوورداردا حیسابی بۆ بکرێت. ئەمە بەکارهێنانی هەیە لە [[کریپتۆگرافی|کریپتۆگرافیدا]], وەک لە پلانی هاوبەشکردنی نهێنی شامیر .

== هەروەها ئەمانە ببینە ==

* ئەلگۆریتمەکەی نێڤڵ
* فۆڕمی نیوتنی فرەژمارەی ئینتەرپۆلاسیۆن
* ڕادەدارەکانی بێرنشتاین
* تیۆرمی کارلسۆن
* نەگۆڕی لێبێسگێ
* سیستەمی چێبفون
* خشتەی زنجیرە نیوتنییەکان
* هاوگۆڕاوی فرۆبێنیۆس
* فۆرمولەی سیلڤێستەر
* ڕێژەی جیاوازی کۆتایی
* ئینتەرپۆلاسیۆنی هێرمیت
{{Reflist}}

== بەستەری دەرەکی ==
{{پۆلی کۆمنز|Lagrange polynomial}}
{{تووڵی دەروازە|ماتماتیک}}