کلووبەفری کۆخ

پەڕگە:Von Koch curve.gif

کلووبەفری کۆخ پاش حەوت دووبارەبوونەوە

کلووبەفری کۆخ یان کلووی کۆخ (داڕێژە:بە ئینگلیزی) ھەروەھا بە چەماوەی کۆخ، ئەستێرەی کۆخ و دوورگەی کۆخیش ناسراوە، چەماوەیەکی بیرکارییە کە لەلایەن ماتماتیکزانی سوێدی ھێلگ ڤان کۆخ ساڵی ١٩٠٤ پێشکەش کرا. ئەم چەماوەیە لە یەکەم فراکتاڵەکانە کە باسی لێوە کراوە. کلووبەفری کۆخ لە ھەموو خاڵەکانیدا بەردەوامە، و لە ھیچ خاڵێکدا توانای گرتەی نییە.

پێکھاتە

بۆ دروستکردنی کلووبەفری کۆخ لە سێگۆشەیەکی لایەکسانەوە دەست پێ بکە و ئەم ھەنگاوانەی خوارەوە پەیڕەو بکە:

1. ھەر یەک لە لایەکانی سێگۆشە لایەکسانەکە بە سێ بەشی یەکسان دابەش بکە.
2. سێگۆشەیەکی لایەکسان لەسەر بەشی ناوەڕاست بەرەو دەرەوە دروست بکە بەشێوەیەک کە ئەم بەشە ببێتە بنکەی سێگۆشە نوێکە.
3. بنکەی سێگۆشەکە لە ھەنگاوی دووھەمدا لاببە.

ئەم کارە دووبارە بکەرەوە لەسەر ھەموو ئەو لایانەی وا دەستت دەکەون.

تایبەتمەندییەکان

چێوەی کلووبەفری کۆخ

پاش ھەر دووبارەبوونەوە، ژمارەی لایەکانی کلووبەفری کۆخ ڕوولەزیادبوونە، بە کۆلکەی ٤، کەوایە ژمارەی لایەکان پاش $n$ دووبارەبوونەوە بەم شێوە دەدۆزرێتەوە: داڕێژە:Ltr

$N_n=N_{n-1}\cdot 4=3\cdot 4^n.$

داڕێژە:Ltr/end لە کاتێکدا درێژایی لایەکانی سێگۆشە لایەکسانە سەرەکییەکە $S$ بێت، درێژایی ھەر یەک لە لایەکانی کلوو بەفری کۆخ پاش $n$ دووبارەبوونەوە دەکاتە: داڕێژە:Ltr

$S_n=\frac{S_{n-1}}{3}=\frac{s}{3^n}.$

داڕێژە:Ltr/end کەوایە، چێوەی کلوو بەفری کۆخ دوای $n$ دووبارەبوونەوە بریتییە لە: داڕێژە:Ltr

$P_n=N_n\cdot S_n=3\cdot s\cdot {\left(\frac{4}{3}\right)}^n.$

ڕادەی چێوە

لە کاتێکدا ژمارەی دووبارەبوونەوەکان بەرەو بێکۆتا بڕوات، ڕادەی چێوە دەکاتە: داڕێژە:Ltr

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{P}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }3\cdot s\cdot {\left(\frac{4}{3}\right)}^n=\mathrm{\infty },$

داڕێژە:Ltr/end لەبەر ئەوەی |داڕێژە:Sfrac| > 1.

ڕووبەری کلووبەفری کۆخ

لە ھەر دووبارەبوونەوەیەکدا سێگۆشەیەکی نوێ لەسەر ھەر یەک لە لایەکانی دووبارەبوونەوەی پێشوو زیاد دەکرێت، کەوایە ژمارەی ئەو سێگۆشە نوێیانەی لە دووبارەبوونەوەی $n$ ـەمدا زیاد دەبن بریتییە لە: داڕێژە:Ltr

$T_n=N_{n-1}=3\cdot 4^{n-1}=\frac{3}{4}\cdot 4^n.$

داڕێژە:Ltr/end ڕووبەری ھەر سێگۆشەیەکی زیاد دەبێت لە دووبارەبوونەوەی $n$ـەمدا بریتییە لە: داڕێژە:Ltr

$a_n=\frac{a_{n-1}}{9}=\frac{a_0}{9^n}.$

داڕێژە:Ltr/end لێرەدا داڕێژە:Math ڕووبەری سێگۆشە سەرەکییەکەیە. کۆی ئەو ڕووبەرەی لە دووبارەبوونەوەی $n$ـەمدا زیاد دەکات، دەبێتە:

$b_n=T_n\cdot a_n=\frac{3}{4}\cdot {\left(\frac{4}{9}\right)}^n\cdot a_0$

داڕێژە:Ltr/end لەمەوە دەردەچێت، ڕووبەری کلووبەفری کۆخ دوای $n$ دووبارەبوونەوە بریتییە لە

$A_n=a_0+\sum _{k=1}^n{b}_k=a_0(1+\frac{3}{4}\sum _{k=1}^n{\left(\frac{4}{9}\right)}^k)=a_0(1+\frac{1}{3}\sum _{k=0}^{n-1}{\left(\frac{4}{9}\right)}^k).$

$A_n=a_0(1+\frac{3}{5}(1-{\left(\frac{4}{9}\right)}^n))=\frac{a_0}{5}(8-3{\left(\frac{4}{9}\right)}^n).$

ڕادەی ڕووبەر

ڕادەی ڕووبەری کلووبەفری کۆخ بریتییە لە: داڕێژە:Ltr

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{A}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_0}{5}\cdot (8-3{\left(\frac{4}{9}\right)}^n)=\frac{8}{5}\cdot a_0,$

لەبەر ئەوەی |داڕێژە:Sfrac| < 1. واتە ڕووبەری کلووبەفری کۆخ دەکاتە داڕێژە:Sfrac ـەمی ڕووبەری سێگۆشە بنەڕەتییەکە.

ڕەھەندیی فراکتاڵی

ڕەھەندیی فراکتاڵیی کلووبەفری کۆخ بریتییە لە داڕێژە:Sfrac ≈ 1.26186 و ئەمە گەورەترە لە ڕەھەندی ھێڵێک کە دەکاتە یەک.

پێشانگا

• پەڕگە:KochFlake.svg
• پەڕگە:Koch similarity tiling.svg
• هەڵە کاتی درووست‌کردنی هێما:
• پەڕگە:Kochkurve.png

سەرچاوەکان

• داڕێژە:بیرخستنەوەی ویکی

بەستەرە دەرەکییەکان

• The Koch snowflake in Mathworld
• The Koch Curve poem by Bernt Wahl
• Computing iterations of the Koch curve in WolframAlpha
• Application of the Koch curve to an antenna
• A WebGL animation showing the construction of the Koch surface داڕێژە:Webarchive