ڕادە (ماتماتیک)

پەڕگە:Limit of a function.svg

ڕادە یان ئامانج (داڕێژە:بە ئینگلیزی)یەکێک لە چەمکە سەرەکییەکانی ھەژماری جیاکاری و تەواوکارییە و بۆ پێناسەی بەردەوامی، گرتە، و تەواوکاری، کەلکی لێوەردەگرن. ڕادە چۆنییەتی ڕەوشتی فانکشنێک و ھەروەھا سیفەتی فانکشن لەسەر خاڵەکانی ڕووتەختێک یان بەھایەکانی بێسنوور بەراورد دەکات. لە دەقە بیرکارییەکاندا ڕادە ھێما دەکرێ بە lim، بۆ نموونە lim(a_n) = a ھەندێک جار بە ئاڕاستەبڕێک (→) نیشان دەدرێت وەکوو a_n → a و ھەندێک جار بە پیتە کوردییەکان بە شێوەی ڕادە دەنووسرێت.

ڕادەی فانکشن

پەڕگە:Límite 01.svg

مەودایداڕێژە:Math تا خاڵی داڕێژە:Math بە δ دیاری کراوە

پەڕگە:Limit-at-infinity-graph.png

مەودای داڕێژە:Math تا داڕێژە:Math بە ε دیاری کراوە، بۆ ھەر داڕێژە:Math

وا دابنێ لە فانکشنی $f$دا، بەھای گۆڕەکەکە لە ژمارەیەکی نەگۆڕ وەک c نزیک ببێتەوە، ئەوا ئەگەر بەھای فانکشنەکە، لە ژمارەیەکی نەگۆڕ وەکوو L نزیک ببێتەوە، L بریتییە لە ڕادەی فانکشنی $f$ لە خاڵی c دا. ئەگەر $f(x)$ فانکشنی ڕاستی و c ژمارەیەکی ڕاستی بێت؛ داڕێژە:Ltr

$\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L$

داڕێژە:Ltr/end واتە بەھای $f(x)$ زیاتر و زیاتر لە ژمارەی $L$ نیزیک دەبێتەوە کاتێک $x$ زیاتر و زیاتر لە ژمارەی دیاریکراوی c لە ھەر دوو لای نیزیک ببێتەوە. ئەمە بەم شێوەیە دەردەبڕین «ڕادە (ئامانجی) $f$ کاتێک $x$ لە c نیزیک دەبێتەوە یەکسانە بە $L$.»

لە ساڵی ١٨٢١ کۆشی و پاشان کارڵ ڤایەرشتراس ئەو پێناسەیان بە زاراوەگەلی بیرکاری شیکاری کرد، پێناسەی ڕادە لە سەدەی ١٩ زایینی بە ڕادەی (ε, δ) دەناسرا. لێرەدا ئێپسیلۆن بەھایەکی ئەرێنی زۆر بچووکە. کاتێک «$f(x)$ زیاتر و زیاتر لە داڕێژە:Math نزیک دەبێتەوە» واتە بەھای $f(x)$ کەم کەم دەکەوێتە ماوەی (L - ε, L + ε). ئەوە بەم شێوە دەنووسرێت f(x) - L| <ε|. «کاتێک x زیاتر و زیاتر لە ژمارەی دیاریکراوی c لە ھەر دوو لای نیزیک دەبێتەوە» واتە ئەو بڕە ڕاستیانەی وەکوو x کە دوورییان تا c کەمترە لە بڕی ئەرێنی δ. واتە x دەکەوێتە نێوان یەکێک لە ماوەکانی (c - δ, c)یا (c, c + δ)، ئەمە بە شێوەی خوارەوە دەنووسرێت

داڕێژە:Math.

لاسەنگەی یەکەم واتە دووری نێوان داڕێژە:Math و داڕێژە:Math زۆرترە لە سیفر و داڕێژە:Math و لاسەنگەی دووھەم واتە دووری داڕێژە:Math لە داڕێژە:Math کەمترە لە داڕێژە:Math. پێناسەی ڕادە بەو شێوەیە تەنانەت ئەگەر $f(c)\ne L$ بێت پاسادانە واتە پێویست نییە داڕێژە:Math لە خاڵی داڕێژە:Math پێناسە کرابێت.

نموونە

بۆ نموونە، وا دابنێ $f$ بە شێوەی خوارەوە پێناسە بکرێت داڕێژە:Ltr

$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$

داڕێژە:Ltr/end دەکرێت وێنەی ڕوونکردنەوەی فانکشنی f بە چەندھا خاڵ جگە لە x=١ بکێشرێتەوە. لە لایەکی تر وێنەکە لە x=١ ڕوون نییە، بۆ ئەوەی بیرۆکەیەکمان لەلا دروست بێت لە چۆنییەتی سیفەتی فانکشنی f لە ھاوسێی x=١ دەتوانین دوو کۆمەڵە گۆڕەک بۆ بەھای x بەکار بھێنین، کۆمەڵەی یەکەم لەو بەھایانە پێکدێت کە زیاتر و زیاتر لە لای چەپ لە یەک نیزیک دەبێتەوە، کۆمەڵەی دووھەم لەو بەھایانە پێکدێت کە زیاتر و زیاتر لە لای ڕاست لە یەک نیزیک دەبنەوە. ھەر چەند x بەھای یەک وەرناگرێت، بەڵام دەتوانێت بەھای x زیاتر و زیاتر لە ١ نیزیک بکرێتەوە، لەمەوە دەردەچێت بەھایەکانی $f(x)$ زیاتر و زیاتر لە ٢ نیزیک دەبێتەوە. داڕێژە:Ltr

f(٠٫٩)	f(٠٫٩٩)	f(٠٫٩٩٩)	f(١٫٠)	f(١٫٠٠١)	f(١٫٠١)	f(١٫١)
١٫٩٠٠	١٫٩٩٠	١٫٩٩٩	⇒ پێناسە نەکراوە ⇐	٢٫٠٠١	٢٫٠١٠	٢٫١٠٠

داڕێژە:Ltr/end ھاوکێشەی خوارەوە بۆ ھەموو ژمارە ڕاستییەکان جگە لە x=١ پاسادانە. داڕێژە:Ltr $\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=x+1$ داڕێژە:Ltr/end کەواتە، بەھای $f(x)$ زیاتر و زیاتر لە ٢ نیزیک دەبێتەوە ھەرکات داڕێژە:Math ی زیاتر و زیاتر لە ١ نیزیک ببێتەوە. بە واتایەکی تر داڕێژە:Ltr $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=1+1=2$. داڕێژە:Ltr/end ڕادەی یەک فانکشن سەرەڕای ئەوەی بۆ بەھای دیاریکراو پێناسە دەکرێت، دەتوانێت بۆ بەھای بێسنووریش پێناسە بکرێت بۆ نموونە داڕێژە:Ltr

$f(x)=\frac{2x-1}{x}$

• f(١٠٠) = ١٫٩٩٠٠
• f(١٠٠٠) = ١٫٩٩٩٠
• f(١٠٠٠٠) = ١٫٩٩٩٩٠

داڕێژە:Ltr/end ھەرکات داڕێژە:Math بەھای بێسنوور وەربگرێت، بەھای $f(x)$ لە ٢ نزیک دەبێتەوە. ئەمە بەم شێوەیە دەردەبڕین ڕادەی داڕێژە:Math کاتێک داڕێژە:Math بەرەو بێسنوور دەڕوات، یەکسانە بە ٢ بە زمانی بیرکاری بەم شێوە دەردەبڕێت: داڕێژە:Ltr

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2x-1}{x}=2.$

ڕادەی پاشییەکی

پەڕگە:Converging Sequence example.svg

پاشییەکی لە سیفر نیزیک دەبێتەوە

لە سەرنجدان بەم پاشییەکییە داڕێژە:Ltr ۱٫۷۹, ۱٫۷۹۹, ۱٫۷۹۹۹,... داڕێژە:Ltr/end دەردەچێت، ژمارەکانی پاشییەکی لە ژمارەی ١٫٨ نزیک دەبێتەوە. کەواتە ١٫٨ بریتییە لە ڕادەی ئەم پاشییەکییە. وا دابنێ داڕێژە:Ltr a_۱, a_۲,... داڕێژە:Ltr/end پاشیەکییەک لە ژمارە ڕاستەقینەکان بێت. ئەوا دەتوانیت بڵێیت ژمارەی ڕاستەقینەی داڕێژە:Math بریتییە لە ڕادەی پاشییەکی ئەگەر: داڕێژە:Ltr $\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }{n}_0\in \mathbb{N}s.t.\mathrm{\forall }n\ge n_0|a_n-l|<ϵ$ داڕێژە:Ltr/end ڕادەی پاشییەکی بە ھێما بیرکارییەکان بەم شێوە دەنووسرێت: داڕێژە:Ltr

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=l$

ئەمانەش ببینە

• ڕێسای لۆپیتاڵ
• فانکشنی بەردەوام
• گرتە
• تەواوکاری

سەرچاوەکان

• داڕێژە:بیرخستنەوەی ویکی